数列与不等式技巧
Ⅰ.不动点法
求分式通项
利用不动点法求形如$a_n=\frac{aa_{n-1}+b}{ca_{n-1}+d}$的通项公式的方法：
①令$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}=x$，并解出方程的根即为不动点$x_1=p_1$，$x_2=p_2$.
②构造数列
$i.$当$p_1 \neq p_2$（参见$e. g. 2$），可以构造为如下形式：
$$
\frac{a_n-p_1}{a_n-p_2}=\frac{\frac{aa_{n-1}+b}{ca_{n-1}+d}-p_1}{\frac{aa_{n-1}+b}{ca_{n-1}+d}-p_2}
$$
化简后得到一个等比数列$\lbrace \frac{a_n-p_1}{a_n-p_2} \rbrace$的递推公式：
$$
\frac{a_n-p_1}{a_n-p_2}=k\frac{a_{n-1}-p_1}{a_{n-1}-p_2}
$$
由此可求出
$$
\frac{a_n-p_1}{a_n-p_2}=\frac{a_1-p_1}{a_1-p_2}k^{n-1}
$$
$ii.$当$p_1=p_2$，参见$e. g. 1$.
e. g. 1
$\boldsymbol{a_{n+1}=\frac{1}{2-a_n}}$
$x=\frac{1}{2-x}$
$2x-x^2=1 \therefore x=1$
$a_{n+1}-1=\frac{1}{2-a_n}-1=\frac{a_n-1}{2-a_n}$
取倒数$\frac{1}{a_{n+1}-1}=\frac{2-a_n}{a_n-1}=\frac{1}{a_n-1}-1$
$\therefore \frac{1}{a_n-1}=\frac{1}{a_1-1}-(n-1)$（等差数列）
e. g. 2
$\boldsymbol{a_1=1}$，$\boldsymbol{a_{n+1}=\frac{2a_n-1}{2+a_n}}$
$x=\frac{2x-1}{2+x} \Rightarrow x=\pm i$
$\therefore a_{n+1}-i=\frac{2a_n-1}{2+a_n}-i=\frac{(2-i)a_n-1-2i}{2+a_n}$
$\therefore a_{n+1}-i=\frac{(2-i)(a_n-i)}{2+a_n} \cdots ①$
$\therefore a_{n+1}+i=\frac{(2+i)(a_n+i)}{2+a_n} \cdots ②$
$\frac{①}{②} \Rightarrow \frac{a_{n+1}-i}{a_{n+1}+i}=\frac{2-i}{2+i} \cdot \frac{a_n-i}{a_n+i}$
$\therefore {\frac{a_n-i}{a_n+i}}=\frac{1-i}{1+i}\cdot (\frac{2-i}{2+i})^{n-1}$（等比数列）
取对数法
$b_{n+1}=qb^{p}_{n}$
Ⅱ.放缩法
（更新于2020/5/9）
常见的放缩技巧
（1）$\boldsymbol{\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n^2-1}<\frac{1}{n(n-1)}}$
（2）$\boldsymbol{\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\frac{1}{\sqrt{n}}<\frac{2}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}}$
$\boldsymbol{\frac1{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}$.
（3）$\boldsymbol{\frac{1}{2^n+1}<\frac{1}{2^n}}$，$\boldsymbol{\frac{1}{2^n-1}\leq \frac{1}{2^{n-1}}}$
（4）$\boldsymbol{\frac{1}{n^3}<\frac{1}{n(n^2-1)}=\frac{1}{(n-1)n(n+1)}=[\frac{1}{(n-1)n}-\frac{1}{n(n+1)}]\cdot \frac12}$
（5）$\boldsymbol{(1+r)^n\geq 1+nr}$（二项式定理）
（6）$\boldsymbol{\ln(1+x)<x}$，$\boldsymbol{1+x<e^x}$（结合图象证明，$x$可替换）
（7）$\boldsymbol{\frac{x-1}{x} \leq\ln x \leq x-1}$，$\boldsymbol{\frac{1}{x+1}\leq\ln (1+\frac1x)\leq \frac1x}$（前者结合图象证明，后者替换$x$）
（8）$\boldsymbol{x \geq \sin x (x\geq 0)}$
（9）$\boldsymbol{\ln (1+\frac1n)+\frac{1}{n^3}>\frac1{n^2}}$
（以下更新于2020/8/1）
（10）$\boldsymbol{\sqrt{n(n+1)}<n+\frac12}$（均值放缩）
（11）$\boldsymbol{\frac{2^n}{(2^n-1)(2^{n+1}-1)}=\frac{1}{2^n-1}-\frac{1}{2^{n+1}-1}}$
（12）$\boldsymbol{\ln(x+1)-\ln x\leq \frac1x}$（由（7）得）
（13）$\boldsymbol{\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{n+1}<\ln(n+1)<1+\frac12+\cdots+\frac1n}$（由（7）得）
（14）$\boldsymbol{\ln2\cdot\ln3\cdots\ln n\geq\frac1n}$（还是由（7）得）
实战♂演练
- 数学归纳法
【例】求证：$\boldsymbol{\frac32 \cdot \frac65 \cdots \frac{3n}{3n-1}>\sqrt[3]{\frac{3n+2}{2}}}$.
解: 当$n=1$，$\frac32 > \sqrt[3]{\frac52}$.
设$n=k$时，不等式成立，则$\frac32 \cdot \frac65 \cdots \frac{3k}{3k-1}>\sqrt[3]{\frac{3k+2}{2}}$.
当$n=k+1$，$\frac32 \cdot \frac65 \cdots \frac{3k}{3k-1}\cdot \frac{3k+3}{3k+2}>\sqrt[3]{\frac{3k+2}{2}}\cdot \frac{3k+3}{3k+2}=\sqrt[3]{\frac{(3k+3)^3}{2(3k+2)^2}}>\sqrt[3]{\frac{3k+5}{2}}$.（最后一步可用三项均值不等式）
$\therefore$对于一切$n \in N$不等式成立.
- 利用上一问结论证明下一问不等式
【例】已知函数$f(x)=\ln x+1$.
（1）$f(x) \leq kx$恒成立，求实数$k$的取值范围.
（2）证明：$\ln(n+1)<1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n$
解: 由（1）得，$\ln x\leq x-1$.
$\therefore\ln\frac{n+1}n <\frac{n+1}n-1$
$\ln(n+1)-\ln n< \frac1n$
累加，证毕。